Résoudre dans R |x+1/x| [tex] \geq [/tex] 1

Bonjour,

[tex]|x+\dfrac{1}{x}|\ge1\Longleftrightarrow x+\dfrac{1}{x}\ge1\ \ ou\ \ x+\dfrac{1}{x}\le-1[/tex]

Valeur interdite : x = 0.

[tex]1)\ x+\dfrac{1}{x}\ge1\\\\x+\dfrac{1}{x}-1\ge0\\\\\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x}\ge0\\\\\dfrac{x^2-x+1}{x}\ge0[/tex]

Signe du numérateur x² - x + 1 :

Δ = (-1)²-4*1*1 = 1 - 4 = -3 < 0
Pas de racine.
D'où :  x² - x + 1 > 0 pour tous les réels x.

Par conséquent le signe de la fraction (x² - x + 1)/x est le même que le signe du
dénominateur x.

[tex]\dfrac{x^2-x+1}{x}\ge0\Longleftrightarrow x > 0[/tex]

ou encore,

[tex]x+\dfrac{1}{x}\ge1\Longleftrightarrow x>0\\\\\boxed{S_1=]0;+\infty[}[/tex]

*********************************

[tex]2)\ x+\dfrac{1}{x}\le-1\\\\x+\dfrac{1}{x}+1\le0\\\\\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x}\le0\\\\\dfrac{x^2+x+1}{x}\le0[/tex]

Signe du numérateur x² + x + 1 :

Δ = 1²-4*1*1 = 1 - 4 = -3 < 0
Pas de racine.
D'où :  x² + x + 1 > 0 pour tous les réels x.

Par conséquent le signe de la fraction (x² + x + 1)/x est le même que le signe du 
dénominateur x.

[tex]\dfrac{x^2+x+1}{x}\le0\Longleftrightarrow x < 0[/tex]

ou encore,

[tex]x+\dfrac{1}{x}\le-1\Longleftrightarrow x<0\\\\\boxed{S_2=]-\infty;0[}[/tex]

*************************

Solution finale : [tex]S=S_1\ \cup\ S_2\\\\\boxed{S=]-\infty;0[\ \cup\ ]0;+\infty[\ \ =R^* }[/tex]