bonjour j'ai besoin d'aide pour cet exercice de math j'espère que vous pourriez m'aider merci d'avance ! ​

Réponse :

g(x) = e⁻ˣ(1 - x) + 1

a) étudier les variations de g puis dresser son tableau de variations

  g(x) = e⁻ˣ - xe⁻ˣ + 1

  g'(x) = - e⁻ˣ - (e⁻ˣ - xe⁻ˣ) =   - e⁻ˣ - e⁻ˣ + xe⁻ˣ  = - 2e⁻ˣ + xe⁻ˣ = e⁻ˣ(x - 2)

or  e⁻ˣ > 0 quelle que soit la valeur de x, donc le signe de g'(x) dépend du signe de x - 2

       x     - ∞                 2               + ∞

     g'(x)              -         0        +

g'(x) ≥ 0  sur l'intervalle [2 ; + ∞[  et g'(x) ≤ 0  sur ]-∞ ; 2]

Tableau de variation de g

      x    - ∞                              2                          + ∞

    g(x)  + ∞ →→→→→→→→→→→→(1 - 1/e) →→→→→→→→ + ∞

                     décroissante                  croissante

b) en déduire le signe de g(x)

puisque le minimum de g :  1 - 1/e > 0  donc g(x) > 0

c) calculer f'(x), comparer avec g(x)

f(x) = x(e⁻ˣ + 1)

f'(x) = (e⁻ˣ + 1) - xe⁻ˣ = e⁻ˣ + 1 - xe⁻ˣ = e⁻ˣ(1 - x) + 1

on a  bien  f'(x) = g(x)

d) dresser le tableau de variations de f

      puisque  g(x) > 0 donc f'(x) > 0  donc la fonction f est croissante sur R

     x   - ∞                                           + ∞

  g(x)  - ∞→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ + ∞

                      croissante

Explications étape par étape