Pouriez vous m'aider c'est un dm à rendre pour jeudi 5 novembre ​

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

a)

On sait que :

GA+GB+GC=0 , qui donne :

GA+(GA+AB)+(GA+AC)=0 soit :

3GA+AB+AC=0

b)

Ce qui donne :

AB+AC=-3GA

AB+AC=3AG

AG=(1/3)(AB+AC)

OK ?

c)

Tu places A' milieu de [BC].

Tu prolonges [AA') en [AC'] de façon que AC'=AA' x 2.

vect (AB+AC)=vect AC'.

OK ?

G est au 1/3 de [AC'] en partant de A.

2)

a)

En vect :

A'B+A'C=0 (O=vect nul) car vect de même direction , de même mesure mais de sens inverse

AG=(1/3)(AB+AC)

Mais AB+AC=(AA'+A'B)+(AA'+A'C)=2AA'+A'B+A'C=2AA'+0 donc :

AG=(1/3)*2*AA'

AG=(2/3)AA'

(AA') est une médiane du triangle ABC.

b)

On part de :

GA+GB+GC=0 qui donne :

(GB+BA)+GB+(GB+BC)=0

3GB+BA+BC=0

BA+BC=-3GB

BA+BC=3BG

BG=(1/3)(BA+BC)

Mais :

BA+BC=(BB'+B'A)+(BB'+B'C)=2BB'+B'A+B'C

Mais B'A+B'C=0

donc :

BA+BC=2BB'

Donc :

BG=(1/3)*2*2BB'

BG=(2/3)BB'

qui prouve que (BG)  est aussi une médiane du triangle ABC.

G est donc le centre de gravité du triangle ABC.