Bonsoir, pouver vous m'aidé svp ? Un jardin carré de 20 m de côté est représenté par ABCD. AEFC est une allée délimitée par les droites parallèles (AC) et (EF).

Réponse :

soit ABCD de coté c = 20 m

et c = AB = BC = CD = DA

AEFC est un quadrilatère

(AC)//(EF)

E ∈ [AD]

Pour déterminer ou placer E sur AD, pour que l'aire A de l'allée soit égale à  1/4  de l'aire  Aj du jardin tel que

A = 1/4 x Aj

or Aj = c²  alors A = 1/4 c²

d'autre part Aj = A1  +  A + A2

avec A1 : aire du triangle ABC rectangle en B soit A1 = c²/2

et A2 : aire du triangle  EDF rectangle en D soit A2 = (DE x DF) / 2

Alors  A = Aj - A1 - A2 = c² -  c²/2 - (DE x DF) / 2

or  comme les droites (CD) et (AD)  sécantes en D, sont  coupés par les deux droites parallèles (AC) et (EF) alors on a les égalités de rapport (Thalès)

CF/ CD  = AE/ AD = EF/ AE

or CD = AD alors  CF = AE

et  DE = DF  (or c = CF + FD et c= AE + ED)

Alors  A = c² -  c²/2 - DE² / 2        

or on sait que A = 1/4 c²

alors 1/4 c² = c² -  c²/2 - DE² / 2  <=> DE²/2 = c² -  c²/2 - 1/4 c²

                                                     <=> DE² = 2c² - c² -1/2 c²

                                                     <=> DE² = 1/2 c²

                                                     <=> DE² = 1/2 (20²)   on remplace c par 20

                                                     <=> DE² = 1/2 x 400

                                                     <=> DE² = 200

alors  DE = √200 or DE est une longueur alors DE >0

donc  DE = 14,14 m

Par conséquent on place le point E a 14.14 m du point D, afin que l'aire de l'allée soit 1/4 de celle du jardin.

j'espère avoir aidé.