Pouvez vous m’aider svp

Réponse :

a)

On cherche à démontrer que (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

(1 + x)² = 1 + 2x + x²

(1 + x)³ = (1 + 2x + x²)* (1 + x) = ( 1 + 2x + x² + x + 2x² + x³ )

(1 + x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³

(1 + x)⁴ = (1 + 3x + 3x² + x³)* (1 + x) = 1 + 3x + 3x² + x³ + x + 3x² + 3x³ + x⁴

(1 + x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴

Or (1 + x)ⁿ = (1 + x) * (1 + x) * ... * (1 + x) * (1 + x) avec n terme de (1 + x)

Soit (1 + x)ⁿ = xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + n*xⁿ⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + 1

Soit (1 + x)ⁿ = xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + n*x + 1

Soit démontrer que xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + nx + 1 ≥ 1 + nx

En simplifiant cela revient à démontrer que  xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ...  ≥ 0

Soit démontrer par simplification que xⁿ  ≥ 0

Ce qui est vrai pour tout n réel strictement positif

b) On utilise l'équation démontrée en a)

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

Si x = 1, alors (1+1)ⁿ ≥ 1 + n*1

Soit 2ⁿ ≥ 1 + n

Si x = 2, alors (1+2)ⁿ ≥ 1 + n*2

Soit 3ⁿ ≥ 1 + 2n

Or (1 + 2n) > n

Soit 3ⁿ ≥ n

Si x = n, alors (1+n)ⁿ ≥ 1 + n*n

Soit (n+1)ⁿ ≥ 1 + n²

Explications étape par étape