Bonjour, j'ai besoin d'aide, Soit l'équation ax^2+bx+c, ou a different de 0 et c different de 0. Demontrer que si a et c sont de signes contraires, alors cette

Réponse :

si a et c sont de signes contraires ( un positif ET un négatif )

  --> on a bien une racine positive et l' autre négative

  --> les deux racines sont donc bien distinctes

Explications étape par étape :

■ ax² + bx + c = 0

  divisons par a :

    x² + (b/a)x + c/a = 0

■ on peut écrire cette équation autrement :

   x² - Sx + P = 0

  avec S = -b/a = x1 + x2 = Somme des 2 racines

           P = c/a = x1 * x2 = Produit des 2 racines

■ vérif :

  ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 devient

   x² - x*x2 - x1*x + x1*x2 = 0

     x² - (x1+x2)x + x1*x2 = 0

             x² - Sx + P = 0

■ si a et c sont de signes contraires ( un positif ET un négatif )

  --> on a bien une racine positive et l' autre négative

  --> les deux racines sont donc bien distinctes !

■ remarque sur le Discriminant Δ :

   Δ = S² - 4P toujours positif

                      si a et c sont de signes contraires

               donc si P est négatif

   d' où les racines réelles distinctes :

   x1 = 0,5 [ S - √(S²-4P) ]

   x2 = 0,5 [ S + √(S²-4P) ]

   on peut vérifier :

   x1 + x2 = S

   x1 * x2 = 0,25 [ S² - (S²-4P) ] = 0,25 * 4P = P