soient n et p deux nombres entier relatifs . montrer que n×p est pair ou n^2-p^2 est un multiple de 8 ​

bjr

soient n et p deux nombres entier relatifs .

1) si l'un des deux, ou si les deux sont pairs le produit est pair

2) il reste le cas de deux impairs

il faut montrer que si n et p sont impairs

n² - p² est un multiple de 8

si n est impair, il est de la forme n = 2k + 1      (k entier)

n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1

4k(k + 1) est un multiple de 4

k est k + 1 sont deux entiers consécutifs, l'un d'eux est pair

k(k + 1) est un multiple de 2

d'où

4k(k+ 1) est un multiple de 8

carré d'un impair =   (multiple de 8)  +1

n² = 8k₁ + 1              (k₁ entier)

de même

p² = 8k₂ + 1              (k₂ entier)

la différence (8k₁ + 1) - (8k₂ + 1) = 8(k₁ - k₂) est un multiple de 8