Bonjour svp c’est important est il possible de le faire avec tout les calculs en détails sinon je ne comprends pas Exercice On se place dans un repère orthonorm

Réponse :

Explications étape par étape

Exercice

On se place dans un repère orthonormé. On considère la droite (d) d'équation 4x + 7y + 10 = 0.

1. Montrer que les points A(-6;2) et B(1;-2) appartiennent à (d).

A(x=-6 ; y= 2)   4(-6)  +7(2)  + 10 = -24  + 14 +10 = 0  

B(  1; - 2)    4(1)   + 7(-2)   +  10 =  4 -14  + 10  =  0

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (d') parallèle à (d) passant par C(2,16).

(d')    4x + 7y + p = 0.  

C ( x= 2 ; y = 16)             4(2) +7(16) + p=0  

 8  + 112 + p= 0  

 p = -120

(d')    4x + 7y   -120  = 0.  

3. Déterminer une équation

cartésienne de la droite (d") perpendiculaire à (d) passant par B.

(d")    -7x +4y  + p=0  

B(  1; - 2)     -7(1)   + 4(-2)  + p=0  

        -7-8 + p= 0  

p = 15  

(d")    -7x +4y  + 15=0  

4. Résoudre le système suivant :

4x + 7y - 120 = 0              4x = 120  -7y           28x = 840  - 49y

-7x + 4y + 15 = 0               7x = 4y +15              28x = 16y  + 60

donc         16y +60 =  840 -49y

16y + 49y = 840 -60

65 y =     780             y=780/65   =  12  

4x =120 - 7(12)=  36   donc     x = 36/4 =9            

5. En déduire les coordonnées du point d'intersection D de (d') et (d").

D( 9 ;12 )  car    4x + 7y - 120 = 0    est   (d')  et   -7x + 4y + 15 = 0 est (d")

6. un vecteur directeur de (AC). est AC ( 2 - (-6)  ;  16  - 2)    AC ( 8; 14)

7. Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle.

(AB) est  (d)   d'aprés  1.

(CD) est (d')   d'aprés   2. et  5  

or  (d) // (d')  

(BD)  est  (d")  d'aprés  3 et 5  et   (d)⊥(d")

de plus   un vecteur directeur de (d")  est   ( 7;4)   soit   1/2 AC ( 8;14)

ce qui prouve que  (AC) // (BD)

on en deduit que ABDC  est un rectangle