S’il vous plaît aider moi à résoudre l exercice 2 . Et merci

Réponse :

Exercice 2 :

1)

pour n entier naturel = 0, 1, 2, 3...

(4/(√(n²+4) - n)) - √(n²+4) = (4 - √(n²+4) * (√(n²+4) - n)) / (√(n²+4) - n) =

( 4 - (n²+4) + n√(n²+4) ) / (√(n²+4) - n) = (-n² + n√(n²+4) ) / (√(n²+4) - n) =

( n ( √(n²+4) - n ) / (√(n²+4) - n) = n

2)

m entier naturel = 0, 1, 2, 3...

E = (m³ - 1) / (1 - m)

Or on a une identité remarquable (m³ - 1) = (m – 1) (m² + m + 1 )

E = -1 * (1 - m³) / (1 - m) = -1 * (1-m) (m² + m + 1) / (1 - m)

E = -1 * (m² + m + 1)

E appartient à Z car multiplicateur par -1 quelquesoit m

Ensemble Z = ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5...

3) n entier naturel appartenant à N

A et B appartenant à N

Parité de A(n) = n² + 5n + 3

Si A est pair alors il appartient à 2N, soit a = 2k,

Cas ou n = 2q : A (2q) = (2q)² + 5(2q) + 3 soit A(2q) = 4q² + 10q + 3

Cas ou n = 2q+1 : A (2q+1) = (2q+1)² + 5(2q+1) + 3 soit A(2q+1) = 4q² + 4q + 1 + 10q + 5 + 3 = 4q² + 14q + 9

A(n) est impair

Parité de B(n) = (n + 2) * (n + 5)

Cas ou n = 2q : B (2q) = (2q + 2) * (2q+5) = 2 * (q + 1) * ( 2q + 5)

Cas ou n = 2q+1 : B (2q+1) = (2q + 3) * (2q + 6) = 2 * (2q + 3) * ( q + 3)

B(n) est pair. On fait un produit entre un nombre impair et un nombre pair

Cela donnera toujours un nombre pair

Explications étape par étape