Bonjour désolé de vous déranger, puis-je avoir de l’aide pour un exercice sur les suites merci !

Bonjour,

1) ci-dessous (pas à l'échelle demandée)

On peut conjecturer que (Un) est décroissante, convergente et que sa limite est 0.

2) Un+1 = Un²/4 ⇒ Un+1 > 0

Donc si (Un) converge, en étant décroissante et positive, sa limite possible est comprise entre 0 et U₀ = 3.

3) Pour n = 0, on vérifie bien que : 0 ≤ U₀ ≤ 3

On suppose qu'au rang n, 0 ≤ Un ≤ 3

Alors, au rang (n+1) :

0 ≤ Un ≤ 3

⇒ 0 ≤ Un² ≤ 9

⇒ 0 ≤ Un²/4 ≤ 9/4

⇔ 0 ≤ Un+1 ≤ 9/4 ≤ 3

⇒ La propriété est vérifiée au rang n+1

⇒ Par récurrence, pour tout n, 0 ≤ Un ≤ 3

4) Un+1 - Un = Un²/4 - Un

= (Un - 4) x Un/4

Or : 0 ≤ Un ≤ 3

⇒ -4 ≤ Un - 4 ≤ -1

⇒ (Un - 4) < 0    (1)

Et 0 ≤ Un/4 ≤ 3/4

⇒ Un/4 ≥ 0        (2)

(1) et (2) ⇒ (Un - 4) x Un/4 ≤ 0 ⇔ Un+1 - Un ≤ 0

⇒ (Un) décroissante

5) (Un) est bornée et décroissante ⇒ (Un) convergente

Soit l cette limite finie :

lim Un = l et lim Un+1 = l

Or Un+1  < Un

⇒ l < l

⇒ l = 0