Bonjour Je suis en terminale et j'aurais besoin d'aide pour l'exercice 5 de la feuille ci-joint Merci d'avance pour les éventuelles aides​

Bonjour,

(bₙ) : b₀ = 1 et pour tout n, bₙ₊₁ = bₙ/3 + n - 2

1)

initialisation : pour n = 5

b₁ = 1/3 - 1 = -2/3

b₂ = -2/9

b₃ = -2/27 + 1 = 25/27

b₄ = 25/81 + 2 = 187/81

b₅ = 187/243 + 3 = 916/243 ≈ 3,76....

Initialisation : pour n = 5

(n - 3) = 2

⇒ On vérifie bien que pour n = 5, b₅ ≥ n - 3

Hypothèse de récurrence :

On suppose que pour tout n ≥ 5, bₙ ≥ n - 3

Au rang (n + 1) :

bₙ₊₁ = bₙ/3 + n - 2

⇒ bₙ₊₁ = (n - 3)/3 + n - 2   par hypothèse de récurrence

⇔ bₙ₊₁ = n/3 + - 1 + n - 2

⇔ bₙ₊₁ = n/3 + (n - 3)

Or, pour tout entier n ≥ 5, n/3 ≥ 1

⇒ bₙ₊₁ ≥ 1 + (n - 3)

⇔ bₙ₊₁ ≥ (n + 1) - 3

La récurrence est donc démontrée.

2) lim (bₙ) ≥ lim n→+∞ (n - 3)

⇒ lim (bₙ) = +∞