Bonjour aidez moi svp j'ai besoin de l'aide pour cet exercice. Soit p un nombre premier tel que p supèrieur ou ègal à 5 Montrer que 8 divise (p²-1) Montrer que

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

Soit p un nombre premier supérieur ou égale à 5

1)

p =0,1,2,3,4,5,6,7 [8]

0,2,4,6 impossible car p premier

[tex]\begin {array} {cccccc}p\%8&1&3&5&7\\p^2\%8&1&1&1&1\\(p^2-1)\% 8&0&0&0&0\\\\\end{array}\\[/tex]

p²-1 est donc divisible par 8

2)

p=0,1,2 [3]

0 impossible car p premier

[tex]\begin {array} {ccc}p\%3&1&2\\p^2\%3&1&1\\(p^2-1)\%3&0&0\\\\\end{array}[/tex]

p²-1 est donc divisible par 3

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Nb premiers supérieurs ou égal à 5

   = { 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; ... }

■ tableau avec des essais :

         p -->  5        7       11         13         17       19        23      29

     p²-1 --> 24     48     120      168      288    360     528    840

(p²-1)/24 ->  1        2        5          7         12       15        22      35

■ p² - 1 = [ 4 + (2k+1) ] ² - 1    avec k ≥ 0

           = 16 + 4k²+4k+1 + 16k+8 + 1

           = 4k² + 20k + 24

           = 4(k²+5k+6)

           = 4(k+2) (k+3)

  d' où le tableau-réponse :

              k -->  0       1        2        3         4         5         6        7        

4(k+2)(k+3) -> 24    48     80     120     168     224    288   360

■ soit k+2 est pair , soit k+3 est pair donc (k+2)(k+3) est pair d' où 4(k+2)(k+3) est bien divisible par 8 .

■ je Te laisse réfléchir pour "divisible par 3" --> je vais souper ! ☺