Bonjour Je suis en terminale et j'aurais besoin d'aide pour l'exercice 3 de la feuille ci-joint Merci d'avance pour les éventuelles aides

Réponse :

Explications étape par étape

1) Conjecture: lim(kn)=0

2)a)  n(n²-2)+5=n^3-2n+5

pour n=0 n^3-2n+5=5 >0

pour n=1 n^3-2n+5=4 >0

pour n>=2  n >0 ; n²-2>0 et 5>0 donc n^3 > 0-2n+5

Conclusion n^3-2n+5  > 0 pour tout n € N

b) -1 < sin n < 1

n²-1 < n²+sin n < n²+1

On divise par n^3-2n+5  > 0

n²-1  / n^3-2n+5 <Kn < n²+1/n^3-2n+5

3) lim (n²-1)/(n^3-2n+5 )= lim  n²(1-1/n²)/n^3(1-2/n²+3/n^3)

   = lim (1-1/n²)/n(1-2/n²+3/n^3)

lim 1/n²=lim2/n²=lim3/n^3=0

lim (1-1/n²)/(1-2/n²+3/n^3)=1

lim 1/n=0

et lim (n²-1)/(n^3-2n+5 )=0

De même pour lim n²+1/n^3-2n+5=0

Théorème des gendarmes

lim kn = 0