Bonjour à tous, (bac) J'ai besoin de votre aide pour cet exercice s'il vous plaît.. (équation différentielle) Je vous remercie

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

Je vais essayer, mais c'est très loin!

1) Equation homogène:

[tex]y'-ln(x)*y=0\\\\\dfrac{y'}{y} =ln(x)\\\\or \ \int {ln(x)} \, dx =x*ln(x)-x\ (par\ parties)\\\\ln(y)=x*ln(x)-x+C\\\\y=C_1*\dfrac{x^x}{e^x} \\\\[/tex]

2) Variation de la constante:

[tex](x^x)'=x^x+x^x*ln(x) \ (passer\ par\ la \ d\' eriv\' ee\ logarithmique)\\\\y'=C'_1*\dfrac{x^x}{e^x} +C_1*\dfrac{x^x*ln(x)}{e^x} \\\\\\y'-ln(x)*y=\dfrac{C'_1*x^x}{e^x}\\\\C'_1= 3*\dfrac{x}{x^2+5x+4} =\dfrac{3(x+5)-15}{x^2+5x+4}\\\\\\ =3\dfrac{x+5}{x^2+5x+4}-15*(\dfrac{\frac{-1}{3} }{x+4} +\dfrac{\frac{1}{3} }{x+1})\\\\\\\boxed{C_1=3*ln|x^2+5x+4|+5*ln|x+4|-5*ln|x+1| +C_2\\\ et\ y=C_1*\frac{x^x}{e^x} }\\[/tex]