Bonjour, pourriez vous m'aider à propos de cet exercice s'il vous plaît ?​

Bonjour,

On peut calculer les premiers termes pour se faire une idée

[tex]u_0=5\\ \\u_1=\dfrac{5+4}{2}=\dfrac{9}{2}=4+\dfrac{1}{2} \\ \\u_2=\dfrac{9+8}{4}=\dfrac{17}{4}=4+\dfrac{1}{4}[/tex]

1.

Introduction

Nous allons démontrer par récurrence que

[tex]\forall n \in \mathbb{N} \\ \\u_n\geq 4[/tex]

Etape 1 - Initialisation

pour n = 0, 5 est plus grand que 4 donc c'est vrai

Etape 2 - Hérédité

Soit k entier quelconque, supposons que ce soit vrai au rang k, donc

[tex]u_k\geq 4[/tex]

Et montrons que cela reste vrai au rang k+1

[tex]u_{k+1}=\dfrac{u_k+4}{2}\geq \dfrac{4+4}{2}=4[/tex] en utilisant l'hypothèse de récurrence

donc ça reste vrai au rang k+1

Conclusion

Nous venons de démontrer par récurrence que

[tex]\forall n \in \mathbb{N} \\ \\u_n\geq 4[/tex]

2.

[tex]\forall n \in \mathb{N} \\ \\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+4-2u_n}{2}=-\dfrac{1}{2}u_n+2[/tex]

3.

Utilisons le résultat du 1.

[tex]\forall n \in \mathb{N} \\ \\ u_{n+1}-u_n\\\\=-\dfrac{1}{2}u_n+2\leq -\dfrac{4}{2}+2=0[/tex]

Donc la suite est décroissante

4.

La suite est décroissante et minorée par 4 donc elle converge.

Si on veut aller plus loin (non demandé dans l'exercice)

Et sa limite l vérifie

[tex]l=\dfrac{l+4}{2} <=> 2l=l+4<=>l=4[/tex]

Donc la suite converge vers 4.

Merci