bonjours j'aurai réellement besoin d'aide pour l'ex 2 svp merci d'avance. Niveau spe math ​

Réponse :

1) soit l’équation du cercle suivante:

x²+y² -2x -2y -18 =0

(x-1)² -1 +(y-1)² -1 -18 =0

(x-1)² + (y-1)² = 20

qui est l'équation du cercle C de centre Ω (1;1) de rayon 2√5 = 4.47 cm

2)  

si  xA = 3 et yA = 5

alors (x-1)² + (y-1)² = (3-1)² +(5-1)² = 2² +4² = 20, l'égalité est vérifiée

donc A(3;5) ∈ C

si xB = 5 et yB = -1

alors (5-1)² + (-1-1)² = 4² +(-2)² = 20 , l'égalité est vérifiée

donc B(5;-1) ∈ C

3) Tangente t au cercle en A

la droite (ΩA) et la tangente Ta sont perpendiculaires  en A et obliques:

pour (ΩA) :y = m1x+b1

et pour Ta y= m2x+b2

Elles sont sécantes et forment un angle droit (perpendiculaires) si

m1 * m2 = -1  

Trouvons la pente du segment AΩ.

m = (yA -yΩ) / (xA - xΩ) = (5-1)/(3-1) = 4/2 = 2

donc la pente de la tangente Ta est -1/2 (en utlisant m1 * m2 = -1)

donc y = -1/2x  +b1

utilisons le point A(3;5) pour déterminer b1

5 = -3/2 + b1  <=> b1 = 5+3/2 =(10+3)/2 = 13/2

donc  l’équation de Ta est y = -1/2x + 13/2

si x= 0 alors y= 13/2  point D (voir graphique)

on a la tangente Tb, perpendiculaire à BΩ en un point B:

avec  2x - y -11 =0 soit y = 2x -11

trouvons le point commun E entre Ta et Tb

on a alors  -1/2x + 13/2 = 2x -11 <=> 2x  + 1/2x = 13/2 +11

                                                  <=> (5/2)x = (13 +(2*11))/2

       alors  (5/2)x = (13 + 22)/2  <=> x = 35 /5

             donc l'abscisse du point E est  x= 7

et alors y = 2x -11 = 2*7 -11  =14 -11 = 3

              donc l'ordonnée du Point E est y = 3

donc les coordonnées E(7;3).

4)

soit M(x ; y) un point du  cercle Γ de diamètre [AB]  

AMB est un triangle rectangle  

les vecteurs (x - xA; y - yA) et  (x - xB; y - yB) sont orthogonaux  

(x - xA)(x - xB) + ( y - yA) ( y - yB) = 0

avec les valeurs de coordonnées de A et de B

on a alors (x-3)(x-5) + (y-5)(y-(-1)) = 0 <=> (x-3)(x-5) + (y-5)(y+1) = 0

x² -5x -3x +15 +y² +y -5y -5 =0

x² -8x +15 + y² -4y -5 =0

(x-4) ² -16 +15 +(y-2)²-4 -5 =0

(x-4)² +(y-2)² = 10 (on a alors une équation typique (x - a)² + (y - b)² = r²)

qui est l'équation du cercle de centre I de coordonnée (4 ; 2)

et de rayon √10 = 3.16

5) pour Ω (1;1)

comme l'égalité (x-4)² +(y-2)² = (1-4)² + (1-2)² = (-3)² +(-1)² =9+1 =10

alors Ω ∈ Γ.

pour  E(7;3)

si l'égalité (x-4)² +(y-2)² = (7-4)² + (3-2)²=  3² +1² = 10

alors E ∈ Γ.

la nature du quadrilatère EAΩB

on sait que les points E,A, Ω, et B appartiennent à un même cercle Γ

donc le quadrilatère EAΩB est donc  circonscrit au cercle Γ

AB étant le diamètre du cercle Γ alors les triangles circonscrits AEB et AΩB sont respectivement rectangle en E et en Ω,

alors [AE] ⊥ [EB] et AΩ ⊥ ΩB ainsi que ΩA = ΩB

d'une part on sait  que ΩA ⊥ Ta, or E ∈ Ta donc ΩA  ⊥ AE,

d'autre part on sait aussi  ΩB⊥ Tb or E ∈ Tb donc ΩA  ⊥ BE

on en conclut que les angles du quadrilatère sont égaux et rectangle.

ainsi que  2 cotés successif sont égaux (ΩA = ΩB)

Donc le quadrilatère EAΩB est un carré.

Malgré cela j'espère avoir pu t'aidé