Bonjour , est ce que quelqu’un pourrait m’aider sur l’exercice 4 car je ne comprend pas svp. J’ai un contrôle sur le chapitre des suites en terminale S . Merci

Réponse :

Explications étape par étape

Réponse :

soit (Un) la suite définie à partir de n = 1 par Un = √(n+1) - √n

1) démontrer que pour tout n > 1 ;   1/2√(n+1) ≤ Un ≤ 1/2√n

Un = √(n+1) - √n

     = (√(n+1) - √n)(√(n+1) + √n)/(√(n+1) + √n)

     = (n+1 - n)/(√(n+1) + √n)

     = 1/(√(n+1) + √n)

donc  Un  peut s'écrire aussi :  Un = 1/(√(n+1) + √n)

puisque la suite (Un) est définie pour tout n ≥ 1  donc on peut écrire

n ≤ n + 1  ⇔ √n ≤ √(n+1)  car la racine carrée est croissante sur ]0 ; + ∞[

on ajoute √n au deux membres donc  √n + √n ≤ √(n+1) + √n

⇔ 2√n ≤ √(n+1) + √n ⇔ 1/2√n ≥ 1/(√(n+1) + √n)

or Un = 1/(√(n+1) + √n)  donc  Un ≤ 1/2√n

on fait le même raisonnement pour  Un ≥ 1/2√(n+1)

n ≤ n+1  ⇔ √n ≤ √n+1  ⇔ √n + √(n+1) ≤ √(n+1) + √(n+1)

⇔ √n + √(n+1) ≤ 2√(n+1) ⇔ 1/(√n + √(n+1) ≥ 1/2√(n+1)  ⇔ Un ≥ 1/2√(n+1)

finalement    1/2√(n+1) ≤ Un ≤ 1/2√n

2) en déduire la limite de Un, en justifiant

           lim 1/2√(n+1)  ≤ lim Un  ≤ lim 1/2√n

           n→+∞                 n→+∞       n→+∞

Or lim 1/2√(n+1) = 0  et lim 1/2√n = 0   Donc  lim Un = 0

    n→+ ∞                        n→+∞                           n→+∞

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