Bonsoir s’il vous plaît j’ai vraiment besoins d’aide et je dit merci beaucoup au personnes qui vont m’aider. Mouna a reçu 80 000 € en héritage. Elle décide de p
Question
Mouna a reçu 80 000 € en héritage. Elle décide de placer
cette somme et trouve un placement au taux de 6 %. Mais
chaque année, elle doit retirer 4 000€ pour payer les impôts
dus à ce placement. On appelle le capital acquis au bout
den années de placement.
1. Expliquer pourquoi (C) vérifie la relation suivante :
Cofr=1,06 XC-4000.
2. Calculer à la calculatrice les premiers termes de cette suite.
Est-elle arithmétique ? géométrique ?
3. On considère la suite auxiliaire (U2) définie par:
U.=C-50 000
a. Montrer que (U) est une suite géométrique dont on
précisera les caractéristiques.
b. Exprimer U. puis en fonction den.
c De quelle somme Mouna disposera-t-elle au bout de
5 ans?
d. Mouna veut acheter une maison à 180 000 €. Combien
d'années devra-t-elle attendre avant de disposer de cette
somme?
1 Réponse
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1. Réponse caylus
Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Pour simplifier les calculs, on travaille en kilo euros
Capital de départ=80
impôts=4
1)
[tex]c_0=80\\c_1=80*1.06-4\\c_2=c_1*1.06-4\\....\\\boxed{c_{n+1}=c_n*1.06-4}\\\\[/tex]
2) voir fichier joint
La suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
3)
a)
Soit x la lim de la suite
x=1.06*x-4 ==> 0.06x=4 ==> x=400/6
On va donc utiliser la suite auxiliaire U(n)=C(n)-400/6
[tex]u_n=c_n-\dfrac{400}{6} \\\\u_{n+1}=c_{n+1}-\dfrac{400}{6} \\=(c_n*1.06-4)-\dfrac{400}{6}\\\\u_{n+1}=1.06*(c_n-\dfrac{400}{6} )=1.06*u_n\\\\u_0=80-\dfrac{400}{6} =\dfrac{80}{6} \\r=1.06\\[/tex]
b)
[tex]u_n=\dfrac{80}{6} *1.06^n\\c_n=u_n+\dfrac{400}{6} =\dfrac{80}{6} *1.06^n+\dfrac{400}{6}\\\\c_n=\dfrac{80}{6}*(1.06^n+5)[/tex]
c)
[tex]c_5=\dfrac{80}{6} *(1.06^5+5)=84,509674368 (kilo\euro)\approx{84510\ (euro)}[/tex]
d)
Pour éviter un calcul logarithmique, on utilise le tableur:
n=37(ans)
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