Svp vous pouvez m'aider

Bonjour,

Imagine que tu as le travail suivant à faire.

Tu es le long d'une route bordée d'arbres. et tu as plusieurs pots de peinture. On te demande de:

1. Peindre le premier arbre en blanc
2. Si jamais un arbre est blanc tu dois peindre le suivant en blanc.

A ton avis, de quelle couleur seront tous les arbres une fois que tu as terminé?

Est-ce que tu comprends pourquoi les deux étapes sont importantes?

C'est pourquoi, il est demandé qu'un raisonnement par récurrence soit bien rédigé. Je te propose une démonstration en quatre étapes:

Introduction - Enonces la proposition que tu vas démontrer et explique au correcteur que ça sera une démonstration par récurrence

Etape 1 - l initialisation, le premier arbre est blanc

Etape 2 -  Hérédité - si un arbre est blanc le suivant l'est aussi

Conclusion - tu récapes ce que tu as fait en énonçant à nouveau la proposition

Introduction

** nous énonçons la proposition que nous devons démontrer pour tout n **

Nous allons montrer par récurrence que

[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\n^3-n[/tex] est divisible par 6

Etape 1 - Initialisation

** Nous démontrons que c'est vrai au premier rang **

** Equivalent à le premier arbre est blanc **

pour n = 0 nous avons

[tex]0^3-0=0[/tex]

et 0 est divisible par 6 comme 0 = 6*0

Etape 2 - Hérédité

** Soit k un entier quelconque, nous supposons que c'est vrai au rang k et nous démontrons que c'est vrai au rang suivant: k+1**

** Equivalent à si jamais un arbre est blanc tu dois peindre le suivant en blanc **

Prenon un entier k quelconque et supposons que

[tex]k^3-k[/tex] est divisible par 6

Nous voulons montrer que

[tex](k+1)^3-(k+1)[/tex] est divisible par 6

Simplifions l'expression

[tex](k+1)^3-(k+1)\\ \\=k^3+3k^2+3k+1-k-1 \\ \\=k^3+3k^2+2k\\ \\=k(k^2+3k+2) \\\\=k(k+2)(k+1)\\ \\=k(k+1)(k-1+3) \\ \\=k(k+1)(k-1)+3k(k+1)\\ \\\text{Or, \boxed{\text{hypothese de recurrence}} est} \\\\k^3-k=k(k^2-1)=k(k-1)(k+1) \text{ est divisible par 6}[/tex]

Donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence le premier terme est divisible par 6 et que dire de 3k(k+1)

si k est pair k+1 est impair donc k(k+1) est pair

si k est impair k+1 est pair donc k(k+1) est pair

De ce fait k(k+1) est divisible par 2 et donc 3k(k+1) est divisible par 2*3=6

Ainsi,

[tex](k+1)^3-(k+1)[/tex] est la somme de deux termes divisibles par 6 et par conséquent est donc divisible par 6.

Nous avons donc montrer que la proposition reste vraie au rang k+1 si elle est vraie au rang k

Conclusion

Nous venons de montrer par récurrence que

[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\n^3-n[/tex] est divisible par 6

Merci