Bonjour, J’ai pas compris comment donner les encadrements, pourriez-vous m’aider s’il vous plaît.

Réponse :

exercice 101

1) soit f(x)=  1/x

a. si x ∈ [1/2; 9] <=>   1/2 ≤ x ≤ 9

on définit les bornes de f(x):

si x= 1/2 alors 1/x = 1/(1/2)  donc f(1/2) = 2

si x= 9 alors 1/x = 1/9  donc f(9) = 1/9

alors     2 ≤ f(x) ≤ 9   ou  f(x) ∈ [2;9]

b. si -8≤ x ≤ -1/2  <=> x ∈ [-8; -1/2]

on définit les bornes de f(x):

si x = -8 alors 1/x = -1/8  donc f(-8) = -1/8

si x= -1/2 alors 1/x = 1/ (-1/2)  donc f(-1/2) = -2

alors    -2 ≤  f(x)  ≤ -1/2  ou f(x) ∈ [-2;-1/2]

c. si   10² <  x < 10³

on définit les bornes de f(x) tel que:

si x = 10²  alors   1/x = 1/10²  donc f(10²) = 10^(-2)     ^ signifie puissance

si x = 10³  alors    1/x = 1/10³  donc f(10³) = 10^(-3)

alors   10^(-3) < f(x) < 10^(-2)  ou f(x) ∈ ] 10^(-3); 10^(-2)[

2. soit g(x) = -2/x +3

a. si x ∈ [1/2; 9] <=>   1/2 ≤ x ≤ 9

on définit les bornes de g(x):

si x= 1/2 alors -2/x +3 = [(-2)/(1/2)] +3  donc g(1/2) = -1 +3 = 2

si x= 9 alors -2/x +3 = [(-2)/9)] +3  donc g(9) = (-2 +27)/9 = 25/9

alors     2 ≤ g(x) ≤ 25/9   ou  g(x) ∈ [2;25/9]

b. si -8≤ x ≤ -1/2  <=> x ∈ [-8; -1/2]

on définit les bornes de g(x):

si x = -8 alors -2/x +3 = [(-2)/(-8)] +3  donc g(-8) = 1/4 +3 = (1+12)/ 3 = 13/3

si x= -1/2 alors -2/x +3 = [(-2)/(-1/2)] +3  donc g(-1/2) = 1+3 =4

alors    13/3 ≤  g(x)  ≤ 4  ou g(x) ∈ [13/3;4]

c. si   10² <  x < 10³

on définit les bornes de g(x) tel que:

si x = 10²  alors  -2/x +3 = [(-2)/(10²)] +3  

donc g(10²) = (-2 + 300)/100 = 298/100  =   149/50

si x = 10³  alors    -2/x +3 = [(-2)/(10³)] +3 donc

g(10³) = (-2 + 3000)/1000= 2998/1000  =   1499/500

alors  149/50 < g(x) < 1499/500  ou g(x) ∈ ]  149/50; 1499/500[

3) soit h(x) = x³

a. si x ∈ [1/2; 9] <=>   1/2 ≤ x ≤ 9

on définit les bornes de h(x):

si x= 1/2 alors x³ = (1/2)³  donc h(1/2) =1/8

si x= 9 alors x³ = (9)³  donc h(9) =729

alors     1/8 ≤ h(x) ≤ 729   ou  h(x) ∈ [1/8;729]

b. si -8≤ x ≤ -1/2  <=> x ∈ [-8; -1/2]

on définit les bornes de h(x):

si x = -8 alors x³ = (-8)³  donc h(-8) = -512

si x= -1/2 alors x³ = (-1/2)³  donc h(-1/2) = -1/8

alors    -512 ≤  h(x)  ≤ -1/8 ou h(x) ∈ [-512; -1/8]

c. si   10² <  x < 10³

on définit les bornes de h(x) tel que:

si x = 10²  alors  x³ = (10²)³  donc h(10²) = 10^6

si x = 10³  alors   x³ = (10³)³  donc h(10³) = 10^9

alors 10^6 < h(x) < 10^9 ou h(x) ∈ ] 10^6; 10^9[

4) soit i(x) = 4x³ -1

a. si x ∈ [1/2; 9] <=>   1/2 ≤ x ≤ 9

on définit les bornes de i(x):

si x= 1/2 alors 4x³ -1 =  4(1/2)³ -1 donc i(1/2) =4/8  -1 = 1/2 -1 = -1/2

si x= 9 alors 4x³ -1 =  4(9)³ -1 donc i(9) =4*729  -1 = 2916 -1 = 2915

alors    -1/2 ≤ i(x) ≤ 2915   ou  i(x) ∈ [-1/2;2915]

b. si -8≤ x ≤ -1/2  <=> x ∈ [-8; -1/2]

on définit les bornes de i(x):

si x = -8 alors 4x³ -1 =  4(-8)³ -1 donc i(-8) =4*(-512)  -1 = -2049

si x= -1/2 alors 4x³ -1 =  4(-1/2)³ -1 donc i(-1/2) =4*(-1/8) -1 = - 1/2 -1= -3/2

alors    -2049 ≤  i(x)  ≤ -3/2 ou i(x) ∈ [-2049; -3/2]

c. si   10² <  x < 10³

on définit les bornes de i(x) tel que:

si x = 10²  alors  4x³ -1 =  4(10²)³ -1

donc i(-8) =4*10^6  -1 = 4000000 -1 =3999999 = 3,9.10^5

si x = 10³  alors   4x³ -1 = 4(10³)³ -1   donc i(10³) = 410^9 -1 = 3,9.10^8

alors 3,9.10^5< i(x) < 3,9.10^8 ou i(x) ∈ ] 3,9.10^5; 3,9.10^8[

j'espère avoir pu t'aider