salut ! svp aidez moi a resoudre cet exercice . Et merciii!​

Bjr,

1)f est définie pour x différent de 0.

Pour x>0 f est dérivable et

[tex]f(x)=\sqrt[3]{x}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\\\\f'(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}\\\\=\dfrac{1+\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^4}} > 0[/tex]

Donc f est strictement monotone sur [tex]]0;+\infty[[/tex] et f continue, c'est donc une bijection de

2)

pour x<0 il est trivial que

[tex]x-\sqrt{x^2+4}<0[/tex], car c'est la somme de deux nombres négatifs non nuls

Pour x>0

[tex]x^2<x^2+4\\\\<=>x<\sqrt{x^2+4}\\\\<=> x-\sqrt{x^2+4}<0[/tex]

Pour tout x réel

[tex]x=f(f^{-1}(x))=\sqrt[3]{f^{-1}(x)}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{f^{-1}(x)}}\\\\<=>\left( \sqrt[3]{f^{-1}(x)} \right)^2-(\sqrt[3]{f^{-1}(x)})x-1=0[/tex]

Ainsi cherchons des solutions de

[tex]X^2-xX-1=0\\\\\Delta=x^2+4\\\\X=\dfrac{x\pm\sqrt{x^2+4}}{2}[/tex]

or nour recherchons les solutions de cette équation dans I, donc strictement positive, en utilisant le résultat précédent, il vient donc

[tex]\sqrt[3]{f^{-1}(x)}=\dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}<=>\\\\\Large \boxed{\sf \bf f^{-1}(x)=\left( \dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^3}[/tex]

3)

On applique le résultat précédent car c'est

[tex]f^{-1}(\sqrt{5})[/tex], et donc

[tex]\Large \boxed{\sf \bf x= \left( \dfrac{\sqrt{5}+3}{2}\right)^3}[/tex]

Merci