Svp vous pouvez m'aider exercices 2 et 3

Bonjour,

Exo 2

Soit la fonction f qui a tout x >0 associe

[tex]f(x)=x-\sqrt{x}[/tex]

f est dérivable et

[tex]f'(x)=1-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}[/tex]

f'(x) est négative pour 0<x<1/4

nulle en 1/4

positives pour x>1/4

et f(1)=0

Nous avons le tableau suivant

[tex]\left| \begin{array}{|c|ccccccc}x&0&&1/4&&1&&\\---&---&---&---&---&---&---\\f'(x)&||&-&0&+&+&+\\---&---&---&---&---&---&---\\f(x)&0&\searrow&-1/4&\nearrow&0&\nearrow\end{array}\right|[/tex]

f est continue sur [tex][1/4;+\infty[[/tex], et strictement monotone, donc f est une bijection, de ce fait pour a et b dans  [tex][1/4;+\infty[[/tex], a différent de b implique que f(x) est différent de b, ce qui s'ecrit

[tex]a\neq b=>a-\sqrt{a}\neq b-\sqrt{b}\\\\a+\sqrt{b}\neq b+\sqrt{a}[/tex]

Exo 3

[tex]1=(ax+by)^2=a^2x^2+b^2y^2+2abxy[/tex]  Or

[tex]2(bx)(ay)\leq (bx)^2+(ay)^2 \ car \ 0\leq (bx-ay)^2=(bx)^2+(ay)^2-2abxy[/tex]

donc

[tex]1=(ax+by)^2=a^2x^2+b^2y^2+2abxy\leq a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)\\\\<=> \dfrac{1}{x^2+y^2}\leq a^2+b^2[/tex]