Dans un repère orthonormé (O;I,J), on considère les points A(2:3), B(13; 1), C(5;7) et D(4 ;-1) 1. Le point A appartient-il au cercle de centre C et de rayon 5

Réponse :

repère orthonormé (0;i;j) formé par les points O; I; J avec

coordonnées du point O (0;0)

coordonnées du le point I (1;0)

coordonnées du le point J (0;1)

vecteur 0J = (0;1)

1) vecteur AC = (3;4)

Norme de AC = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5

AC fait bien 5cm soit le rayon du cercle de centre C passant par A

2) Si B(13;1) appartient à la médiatrice de 0J, alors la distance 0B = distance BJ

vecteur OB = (13;1) --> Norme OB = √(13²+1²) = √170

vecteur JB = (13;0) --> Norme JB = √(13²+0²) = √169

B n'appartient pas a la mediatrice de OJ

3) triangle JAD

JA (2 ; 2) --> Norme JA = √(2²+2²) = √8

AD (2 ; -4) --> Norme AD = √(2²+(-4)²) = √20

JD (4 ; -2) --> Norme JD = √(4²+(-2)²) = √20

longueurs AD = JD, le triangle AJD est isocèle

Produit scalaire AD.JD = xx' + yy' = 2*4 + (-4*-2) = 16 ≠ 0

les vecteurs AD et JD ne sont pas orthogonaux

Le triangle AJD n'est pas rectangle en D

Explications étape par étape

Réponse :

le triangle JAD est isocèle en D

Explications étape par étape :

■ BONJOUR !

■ Cercle de centre C et de Rayon 5 cm :

  (x-5)² + (y-7)² = 5²

  x² - 10x + 25 + y² - 14y + 49 = 25

  x² - 10x + y² - 14y + 49 = 0

■ 1°) A appartient-il au Cercle ?

  (2-5)² + (3-7)² = 25 ?

     3²    +   4²    = 25 ?

     9      +  16    = 25 vérifié !

    A appartient bien au Cercle !

■ 2°) médiatrice de [ OJ ] :

        le milieu de [ OJ ] est le point K

                  de coordonnées (0 ; 0,5)

        L' équation de la Médiatrice de [ OJ ] est

                                                        y = 0,5

        comme yB = 1 --> B ∉ à cette Médiatrice !

■ 3°) triangle JAD :

        JA² = 2² + 2² = 8 ( d' où JA ≈ 2,8 cm )

        JD² = 4² + 2² = 20 ( d' où JD ≈ 4,5 cm )

        AD² = 2² + 4² = 20 aussi !

        conclusion : JAD est isocèle en D !

■ conseils :

- construire une figure soigneusement

                            avec le point J (0 ; 1)

- le Cercle est l' occasion de s' entraîner

                            à utiliser le compas ! ☺