ABCD est un rectangle tel que AB = 8cm et BC= 5 cm. Ses diagonales se coupent en k. 1) soit M le milieu du côté [CD] et H le milieu du segment [AM]. Démontrer q
Mathématiques
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Question
ABCD est un rectangle tel que AB = 8cm et BC= 5 cm. Ses diagonales se coupent en k.
1) soit M le milieu du côté [CD] et H le milieu du segment [AM]. Démontrer que les droites (HK) et (CM) sont parallèles.
2) calculer la longueur HK.
3) calculer la mesure de l'angle DÂM, on donnera le resultat arrondi au degré.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
1) On sait que M est le milieu de [CD] et H le milieu de [AM]. D'après les propriétés du rectangle : ses diagonales se coupent en leur milieu; alors K est le milieu de la diagonale [AC]. De plus, selon des théorèmes des milieux, la droite qui passe par les milieux de deux cotés d'un tiangle, est parallèle au troisième coté. Or, (KH) passe par les milieux de [AM] et [AC], qui sont deux cotés du triangle AMC.
Donc (HK) et (CM) sont parallèles.
2) D'après la propriété métrique des milieux : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du 3e côté. On sait que MC = 4cm (DC ÷ 2) et que HK est associé aux milieux de [AC] et de [AM].
HK = MC ÷ 2 = 2
Donc HK = 2 cm
3) On sait que DAM est un triangle rectangle en D. AM est une hypoténuse. AD ) 5cm et DM = 4 cm.
On utilise Pythagore
Dans le triangle DAM rectangle en D :
AM² = DM² +AD²
AM² = 25 + 16
AM² = 41
AM = √41
AM ≈ 6,403 cm
Nous cherchons l'angle DAM
sin DAM =[tex] \frac{DM}{AM} = \frac{4}{6,40312} [/tex] ≈ 0,62469
et DAM = [tex] sin^{-1} [/tex](0,62469) ≈ 39°
Donc DAM ≈ 39°