Bonjour, c'est pour un exercice en math que je ne comprend pas: Montrez que la suite Un définie pour tout réel n par Un=n3-2n2-3n est croissant pour n supérieur

Réponse :

Explications étape par étape

Montrez que la suite Un définie pour tout réel n par Un=n3-2n2-3n est croissant pour

Un+1 =(n+1)3-2(n+1)2-3(n +1)

Un+1-Un = (n+1)3-2(n+1)2-3(n +1)  - ( n3-2n2-3n  )

= (n+1)² (  n+1  - 2)   - 3(n+1)   -  n²( n-2)  +  3n

=(n+1)²(n-1)  - 3n-3  -n²(n-2)  + 3n

= (n² + 2n+1)(n-1)  - n²(n-2)   - 3

=n²(n-1-n+2)   + 2n( n-1) +n-1-3

= n²  +2n² -2n +n-4

= 3n² -n -4  

=3n² +3n - 4n -4

=3n(n+1) - 4(n+1)

=(n+1)(3n-4)  

n+1  est  toujours positif

3n-4  est  positif   pour  n supérieur à 2.

donc  la suite Un  est croissante pour  n supérieur à 2.

Montrer que la suite Vn définie pour tout réel n strictement positif par Vn=n2+ 10 divisé par 2n est croissant à partir du rang 3.

vn+1 = ( (n+1)² +10 )  / ( 2n+2)  

vn+1 -vn  =    ( (n+1)² +10 )  / ( 2n+2)   -  (n²+10)  / 2n  

= -(  (n+1)(n²+10)   - n ( (n+1)² +10 )  )  /(2n+2)n

le dénominateur  (2n+2)n  étant positif  , voyons le numérateur

( - (n+1)(n²+10)   + n ( (n+1)² -10 )  ) = -(n+1)n² - 10(n+1)  +  n( (n+1)² +10n  

= (n+1)( - n²  -10  + n(n+1)  )   + 10n

(n+1)( -10 +n)  + 10n

=-10n +n² -10+n-10n

= n² +n -10

le numérateur  est  n²+n-10  si  n plus grand que  3 alors   n² +n plus grand que  9+3=12

n²+n-10  plus grand que 12-10 = 2

donc positif   donc a suite Vn  est croissant à partir du rang 3.