Bonjour, aidez moi svp je suis en terminale: Un entier de Gauss est un nombre complexe de la forme g=a+ib où a et b sont des nombres entiers. 1. Montrer que la

Réponse :

Explications étape par étape

Un entier de Gauss est un nombre complexe de la forme

g=a+ib où a et b sont des nombres entiers.

1. Montrer que la somme et le produit de deux entiers

de Gauss sont des entiers de Gauss.

g+g' =(a+a')+i(b+b')  

gg' =(aa'-bb')+i(ab'+a'b)  

2. Montrer que les seuls entiers de Gauss dont l'inverse

est aussi un entier de Gauss sont 1;-1;i et -i.

si g est  un entier de Gauss alors   a et b sont entiers  

donc  |g| = a² +b²  est  entier  

et  l'inverse  | 1/g| =  1/(a²+b²)   est entier  

d'où  a²+b² = 1  

alors  a² =1    et  b=0   ou  b² =1        et  a = 0

d'où la réponse

3. Si g désigne un entier de Gauss, montrer qu'il existe

un polynôme de degré 2 à coefficients entiers qui

s'annule en g.

(z-g)²   = z² -2gz + g²  s'annule en g  

4. a. Montrer que le quotient de deux entiers de Gauss

s'écrit sous la forme x+iy où x et y sont des nombres

rationnels.

g/g'  = (a+ib)(a'-ib')  /   (a'2 + b'2)  =(  ( aa'+bb')  + i( ba'-ab') )  / (a'² + b'²)  

x  = (aa'+bb') /(a'²+b'²)  est  un nombre rationnel comme y

b. le nombre complexe

1/2 + i V3/2 n’est

pas le quotient de deux entiers de Gauss. car   [tex]\sqrt{3}[/tex] /2  n'est pas rationnel