Soit ABC un triangle et D un point du plan tel que : AD= AB+ AC. 1- Construire le point D après le point G tel que : AG=1/3 AD .2- Quelle est la nature du quadr

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Pour construire le point D tel que AD=AB+AC , tu places M mileu de [BC].

Tu traces la droite (AI) et sur cette droite , tu places D tel que AM=MD.

Tu peux voir , en vecteurs , que AD=AB+AC car BD=AC.

OK ?

Puis tu places G tel que AG=(1/3)AD

2)

On a donc BD=AC ( en vect) par construction . Ce qui prouve que ABDC est un parallélogramme.

3)

AG=(1/3)AD

AG=(1/3)(AB+AC)

GA=-(1/3)(AB+AC)

GA+(1/3)(AB+AC)=0

GA+(1/3)(AG+GB+AG+GC)=0

GA+(2/3)AG+(1/3)GB+(1/3)GC=0

(3/3)GA-(2/3)GA+(1/3)GB+(1/3)GC=0

(1/3)(GA+GB+GC)=0 qui donne :

GA+GB+GC=0

4)

a)

Tu fais la construction.

b)

Je parle en vecteurs.

DE=CG qui prouve que le quadrilatère GCDE est un parallélo.

Donc :

CD=GE

Mais CD=AB car ABDC est un parallélo.

Donc :

GE=AB

qui prouve que AEGB est un parallélo.

c)

Toujours en vecteurs :

Comme AEGB est un parallélo :

BE=AG ===>égailté (1)

Par ailleurs :

EF=ED+DF mais ED=GC et  DF=GB donc :

EF=GC+GB

De : GA+GB+GC=0 , on sort :

GB+GC=-GA=AG

Donc :

EF=AG ==>égalité (2)

Des 2 égalités (1) et (2) on tire :

BE=EF

qui prouve que E est le milieu de [EF].

N'oublie pas que tout est en vecteurs. OK ?

5)

Je ne sais pas si j'ai trouvé le plus court !!

On y va :

DI=DE+EI

Mais :

DE=CG

Et :

EI=EF/2=BE/2=AG/2

Donc :

DI=CG+AG/2 et CG=CB+BG

DI=CB+BG+AG/2

Mais de GA+GB+GC=0 on tire : AG=GB+GC donc :

DI=CB+BG+GB/2+GC/2

DI=CB-GB+GB/2+GC/2

DI=CB-GB/2+GC/2

DI=CB+BG/2+GC/2

DI=CB+(1/2)(BG+GC)

DI=CB+(1/2)BC

DI=CB-(1/2)CB

DI=(1/2)CB

qui prouve que DI et CB sont colinéaires.

Ouf !

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