bonjour j’ai besoin de l’aide pour l’exercice 2 ou je n’ai vraiment rien compris et pour l’exercice 3 je trouve pas l’expression un afin de faire la deuxième ét

Réponse :

Bonjour

Exercice 2

f(x) = (x - 1)([tex]\sqrt{x^{2}+1 }[/tex])

on a une fonction de la forme u.v avec u(x) = x - 1 et v(x) = [tex]\sqrt{x^{2} +1}[/tex]

La dérivée de f sera de la forme u'.v + u v'

avec u'(x) = 1 et v'(x) = [tex]\frac{2x}{2\sqrt{x^{2} +1} }[/tex] = [tex]\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} }[/tex]

donc f'(x) = 1 × [tex]\sqrt{x^{2} +1}[/tex] + (x - 1) × [tex]\frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} }[/tex]

f'(x) = [tex]\frac{(\sqrt{x^{2} +1})(x^{2} +1) }{x^{2} +1} + \frac{(x^{2} -x)(\sqrt{x^{2} +1}) }{x^{2} +1}[/tex]

f'(x) = [tex]\frac{(\sqrt{x^{2} +1})(x^{2} +1+x^{2} -x) }{x^{2} +1}[/tex]

f'(x) = (2x² - x + 1)([tex]\frac{\sqrt{x^{2} +1} }{x^{2} +1}[/tex])

Exercice 3

a) On peut conjecturer que uₙ = 5ⁿ - 1

b) Soit P(n) la propriété : uₙ = 5ⁿ - 1

Initialisation :

u₀ = 0 et 5° - 1 = 1 - 1 = 0

P(0) est donc vraie

Hérédité :

Soit un certain n tel que uₙ = 5ⁿ - 1

Démontrons que uₙ₊₁ = 5ⁿ⁺¹ - 1

On a uₙ₊₁ = 4 + 5uₙ

⇔ uₙ₊₁ = 4 + 5(5ⁿ - 1)      (par hypothèse de récurrence)

⇔ uₙ₊₁ = 4 + 5×5ⁿ - 5 = 5ⁿ⁺¹ - 1

Donc P(n+1) est vraie lorsque P(n) est vraie

La propriété P(n) est donc héréditaire

Conclusion :

La propriété P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire.

Donc quelque soit n entier naturel, uₙ = 5ⁿ - 1