Bonsoir, je dois montrer que cette fonction est toujours nulle : f(x) = (1+cos(x) + sin(x)) ² - 2 (1+ cos(x)) (1+sin(x)). Merci d'avance

Réponse :

si f(x) = 0 avec x ∈ R

alors demontrons que (1+cos(x) + sin(x)) ² - 2 (1+ cos(x))(1 +sin(x))= 0

autrement dit que (1+cos(x) + sin(x)) ² = 2 (1+ cos(x))

on a :  

A = (1+cos(x) + sin(x)) ² = (1+cos(x) + sin(x))*(1+cos(x) + sin(x))

A = ((1+ cos(x) + sin(x))*(cos(x) + (1+ sin(x)))

A =  (1+ cos(x)*cos(x) + (1+ cos(x)*(1+ sin(x)) +sin(x)*cos(x) + sin(x)*(1+ sin(x))

A = (1+cos(x)*(1+sin(x)) + (1+ cos(x)*cos(x) + sin(x)*cos(x) + sin(x)*(1+ sin(x))

A= (1+cos(x)*(1+sin(x)) + [cos(x) +cos(x)² + sin(x)*cos(x) +sin(x) +sin(x)²]

A = (1+cos(x)*(1+sin(x)) +[ cos(x) + 1 + sin(x)*(cos(x) +1)] car sin(x)²+cos(x)²=1

A = (1+cos(x)*(1+sin(x)) + [(cos(x) + 1)*(1 +sinx)]

A = (1+cos(x)*(1+sin(x)) + (1+cos(x)*(1+sin(x))

A = 2 (1+cos(x)*(1+sin(x))

donc l'égalité est vérifiée on a bien (1+cos(x) + sin(x)) ² = 2 (1+ cos(x))

et ainsi que (1+cos(x) + sin(x)) ² - 2 (1+ cos(x)) =0

j'espère avoir aidé